現在表示しているボードを自動でポスト先に指定することはできますか。

可能です。
マイボード以外のボードをを開いた状態で「ポストを書く」をクリックすることで、クリック前に開いていたボードがポスト先に自動選択された状態でポストの投稿画面を表示できます。

例：以下の画像の場合、「総務」ボードがポスト先に選択された状態でポストの投稿画面が表示されます。

マイボードを表示している場合には、ボード未選択の状態となります。あらかじめご了承ください。