rakumoだけで使用するプロフィール写真を設定することは出来ますか？

いいえ。rakumo 上でだけ利用するプロフィール写真を設定することはできません。

rakumo では、Google アカウントで設定されたプロフィール写真の情報を取得し、表示しています。
このため、Google アカウントで設定した画像と異なる画像を、rakumo 上で設定・表示することはできかねます。

ご期待に添えず誠に恐れ入りますが、何卒ご了承くださいますようお願いいたします。